SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º

Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.

Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).

Para provarmos a soma e o produto de duas raízes reais de uma equação do 2º grau devemos partir da sua forma geral:

ax² + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara.


SOMA
Somando as duas raízes:
x’ + x”



- b - √∆ - b + √∆ → +√∆ e -√∆ cancelam, pois sua soma será zero.
2a

-2b :2
2a :2

-b
a

Portanto, somar as duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ + x” = -b
a

PRODUTO
Multiplicando as duas raízes:
x’ . x”



Portanto, o produto das duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ . x” = c
a

Além de utilizarmos a fórmula de Bháskara para encontrarmos o valor de x’ e x”, podemos utilizar o produto e a soma das raízes, veja como:

Dada a equação x² – 7x + 10 = 0. Para encontrar a soma e o produto de suas raízes não é necessário que saibamos qual é o valor delas, mas devemos retirar da equação os seus coeficientes.
a = 1
b = - 7
c = 10



Chegamos a duas conclusões: a soma dessas raízes será 7 e o produto delas será 10. Por tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10.
5 . 2 = 10

(-5) . (-2) = 10

1 . 10 = 10

(-1) . (-10) = 10

Desses produtos deve-se escolher aquele que se somarmos os seus fatores encontraremos como resultado 7.
5 + 2 = 7

Portanto, x’ = 5 e x” = 2.

CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Uma equação do 2º grau possui algumas condições de existência envolvendo o valor do discriminante. Os coeficientes de uma equação quadrática determinam os possíveis resultados, por exemplo:

Caso o valor do discriminante seja maior que zero, a equação terá duas raízes reais e diferentes.

O discriminante possuindo valor menor que zero, indica que a equação não possui raízes reais.

Nas situações em que o discriminante assume valor igual a zero, a equação possui apenas uma raiz real.

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0 se enquadram na condição de equações do 2º grau, sendo possível a sua resolução através do Teorema de Bháskara. A utilização desse teorema requer conhecimento dos valores dos coeficientes a, b e c, por exemplo, na equação 2x² + 4x – 12 = 0 os coeficientes são: a = 2, b = 4 e c = –12.

Uma equação do 2º grau pode ter no máximo duas raízes (soluções) reais, a condição de existência das raízes dependerá do valor do discriminante (∆). De acordo com o seu valor podemos ter as seguintes situações:

∆ <> 0, possui duas raízes reais e distintas.

As equações do 2º grau poderão ser resolvidas utilizando a seguinte fórmula:

Resolução de uma equação do 2º grau

Exemplo 1

Dada a equação x² + 3x – 10 = 0, determine suas raízes, se existirem.

a = 1, b = 3 e c = –10

∆ = b² – 4ac
∆ = 3² – 4 * 1 * (–10)
∆= 9 + 40
∆ = 49

As raízes da equação são x’ = 2 e x” = – 5


Exemplo 2

Determine as soluções reais da seguinte equação: 2x² + 12x + 18 = 0

a = 2, b = 12 e c = 18

∆ = b² – 4ac
∆ = 12² – 4 * 2 * 18
∆= 144 – 144
∆ = 0

A equação possui apenas uma raiz real, x’ = x” = 3.


Exemplo 3

Resolva a seguinte equação: 4y² + 6y + 50 = 0

a = 4, b = 6 e c = 50

∆ = b² – 4ac
∆ = 6² – 4 * 4 * 50
∆= 36 – 800
∆ = – 764

Não possui raízes reais ou soluções reais, pois o valor do discriminante é menor que zero.

EQUAÇÃO INCOMPLETA DO 2º GRAU

Toda equação do tipo ax² + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números reais, sendo que a ≠ 0, é chamada de equação do 2º grau. A toda equação do 2º grau em que os coeficientes a e b assumem valores iguais a zero, é considerada uma equação incompleta do 2º grau. (b = 0 e c = 0)

Exemplos:

x² + 2x +8 = 0 (equação completa, a = 1, b = 2 e c = 8)
2x² + 2x = 0 (equação incompleta, c = 0)
x² - 9 = 0 (equação incompleta, b = 0)

Para resolver uma equação incompleta do 2º grau, podemos aplicar Bhaskara ou resolvê-la aplicando simplificações adequadas a cada tipo de equação do 2º grau incompleta.

Curiosidade 03

Por que o número 7 é tão presente no cotidiano das pessoas?

Desde a Antigüidade, a partir da observação da natureza, muitos significados foram atribuídos aos números.
De acordo com o que viam, os estudiosos relacionavam os números a eventos, datas e conceitos religiosos.
O número sete era considerado sagrado, já que supostamente representava a quantidade de planetas
presentes no céu. Os pitagóricos, por exemplo, consideravam-no a imagem e modelo da ordem divina e
harmonia. Por conta disso, foram incontáveis as concepções sociais e religiosas que se formaram diante
dele: são sete os dias da semana, os pecados capitais e as notas musicais, entre outros.

Raiz Quadrada

Raiz quadrada de um número real não negativo x é o número real não negativo que, quando multiplicado por si próprio, iguala a x. Raiz quadrada de certa forma, lembra um pouco a Potenciação, por exemplo, no caso desse exercício de potenciação: 2² = 4, se fosse um exercício de raiz quadrada seria: √4 = 2.

O símbolo √ é chamado de radicando.

Para saber como calcular raiz quadrada é muito importante que o estudante conheça a tabuada, principalmente o resultado dos números multiplicados por eles mesmos. Veja a tabela abaixo.

2 . 2 = 4
3 . 3 = 9
4 . 4 = 16
5 . 5 = 25
6 . 6 = 36
7 . 7 = 49
8 . 8 = 64
9 . 9 = 81
10 . 10 = 100

Com base na tabela acima, se for perguntado qual a raiz quadrada de 49, qual seria o resultado? A resposta certa seria 7, pois: 7 .7 = 49.

Com base nisso, podemos concluir que a raiz quadrada de um número, é o número real que multiplicado por ele mesmo tem como resultado o número que está debaixo do radicando.

Resolvendo um exercício de raiz quadrada

Calcule:

a) √900 = 30, pois 30 multiplicado por ele mesmo é igual a 900. Portanto, 30 . 30 ou 30² = 900

b) √490000 = 700, pois 70 multiplicado por ele mesmo é igual a 700. Portanto, 70 . 70 ou 70² = 490000

Dicionário Matemático - Letra A

ÁBACO – Instrumento para contagem e cálculo. Calculadora com várias hastes de metal, sustentando bolinhas que podem ser manipuladas, servindo para realizar operações matemáticas.

ALGARISMO - Símbolos utilizados para representação de números. Em nosso sistema de numeração de base 10, existem dez algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

ALGORITMO - Um conjunto de regras necessárias à resolução de um problema ou cálculo.

ARITMÉTICA - Parte da Matemática que estuda números e operações.

ASSOCIATIVA - Lei que permite reagrupar os termos de uma adição ou multiplicação sem alterar o resultado. A multiplicação e a adição são operações associativas.

(A+B)+C = A+(B+C)
(A×B)×C = A×(B×C)